駿台の広告の問題・・・わからない→解けた

新・無題ドキュメント＠はてなさん経由．
駿台の広告でこんな問題がでていたそうです．

問い
$n$ を自然数とする。
$K=1^{2007}+2^{2007}+3^{2007}+\cdots+n^{2007}$ とするとき、 $K$ が $n+2$ で割り切れないことを示せ。

ということで，下のように書いたのですが，予想通り，明後日の方向に旅立ってました（予想はおそらく間違ってないと思われます）．
話のメインは合同式でした．

$n+2$ を法として， $n\equiv(-2)$ ， $n-1\equiv(-3)$ ， $n-2\equiv(-4)$ ，となっていくことに注目します．

まず， $n$ が奇数の場合， $2^{2007}$ 以降の項は偶数個あります．それを半分に折り返します．
$1^{2007}+ \left( 2^{2007}+\cdots + \left(\frac{n+2}{2}\right)^{2007} \right) + \left( \left(\frac{n+4}{2}\right)^{2007} +\cdots +n^{2007}\right)$
このとき， $n\equiv(-2)$ ， $n-1\equiv(-3)$ ， $n-2\equiv(-4)$ などに注目して，さらに2007が奇数であることより， $1^{2007}$ 以外の項は「左右から」 $n+2$ を法として打ち消しあっていくことがわかります．結局余りは1となります．

次に， $n$ が偶数の場合，奇数の場合と同様にして打ち消しあいますが，最終的に残る項は $1+\left(\frac{n+2}{2}\right)^{2007}$ です．これを $n+2$ で割った余が0でなければよいわけです．

$n=2k$ とおくと， $1+(k+1)^{2007}$ を $2(k+1)$ で割った余りを考えることになります．

さらに， $k$ が奇数だとすると， $1+(k+1)^{2007}$ は奇数です．一方の $2(k+1)$ は偶数なので割り切れません，余りは0ではありません．

残りは， $k$ が偶数のときです． $k=2l$ とおきます． $1+(2l+1)^{2007}$ を $2(l+1)$ で割ったあまりを考えます， $2l+1$ の累乗は奇数であることに注意して， $(2l+1)^{2006}=2L+1$ とおきます．
$\begin{eqnarray*} 1+(2l+1)^{2007} &=& 1+(2l+1)(2l+1)^{2006} = 1+(2l+1)(2L+1) \\ &=& 2(2l+1)L + 2(l+1) \end{eqnarray*}$
$0< 2(l+1)<2(2l+1)$ であるので，余りは $2(l+1)$ であって，これは0ではない．

以上より，題意は示されました．

間違った思考の残骸
わからない・・・やっぱりこれは，具体的な数 $n$ についての問題なんでしょうね．これが「多項式」としてだったら（「任意の $n$ に対して」ということ），細かいところは昨日までの議論に任せて解けます．
多項式としてなら・・・ $n$ を明示して $K(n)=K$ と書けば，
$K(n)-K(n-1)=x^{2007}$ ですので，
$x=-1$ を代入すると， $K(-1)-K(-2)=(-1)^{2007}=-1$
$x=0$ を代入すると， $K(0)-K(-1)=0^{2007}=0$
$x=1$ を代入すると， $K(1)-K(0)=1^{2007}=1$
これらを足すと， $K(1)-K(-2)=0$ ，つまり， $K(-2)=K(1)=1^{2007}=1$
よって，因数定理より $K(n)$ は $n+2$ を因数に持たない．
（証明終）
実際は任意の指数に対して $n+2$ では割り切れないのも同様に示せるので，これでは意味がないです．となれば・・・解けてません．何か明後日の方向に思考が向いているような気がします．
おそらく，指数が奇数であれば2007ではなくても成立するはずで，偶数のときは $n=4$ のときに $n+2=6$ で割り切れると予想されます（多分，このとき以外は割り切れないでしょう）．