複素平面上の関数は最小値をもつ

どこまでさかのぼればよいのかが問題ですが，

閉円板 $\{z\in \mathbb{C} ~|~ |z|\le R\}$ 上で連続な関数は最大値・最小値をもつ

を土台にすることにします．大学一年生の最初の方で習う定理でしょうが，高校生でも納得できるものだと思います．これをつつきはじめると，あっという間に実数の定義とかになるので妥当なスタートポイントでしょう．

まず，すぐ前に証明したように， $|z|$ が十分大きければ， $|f(z)|$ も十分大きいのです．そこで，十分大きな円板を考えます．その円板上では，連続関数 $G(z)=|f(z)|$ は最小値をもちます．また，この円板の外では $G(z)$ は十分大きいので，結局，円板上での最小値が複素平面全体での最小値になるといえます*1．

まだまだ続きます．

*1:厳密には，以下のようになります． $|f(z)| \ge |a_n| |z|^{n-1}|M|$ であって， $M$ は $\frac{a_k}{a_n}$ の最大値でした．したがって，$M\ge\frac{a_0}{a_n}$です．つまり，円板の半径を上の証明で使った $(n+1)M$ とすると， $|f(z)| \ge |a_n| |z|^{n-1}|M|\le |a_n||z|^{n-1} \left|\frac{a_0}{a_n}\right|\ge|a_0|$ です． $|z|\ge1$ であることも注意です． $f(0)=a_0$ であることにも注意すれば， $0$ が円板上の点で，円板上では，最小値は $a_0$ 以下，円板外では $|f(z)|$ は $a_0$ 以上です．つまり，円板上での最小値が全体での最小値です．