は発散する．

数学

またまた昨日の補足．
以下，青空学園を参考にしています．

複素係数の多項式$f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n$とする．$z\to\infty$のとき，$|f(z)|\to\infty$である．

ちょっと技巧的ですが，不等式で評価しましょう．
$$\begin{eqnarray} |f(z)| &=& |a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots+a_nz^n|\\ &=& \left|\frac{a_0}{a_n z^{n-1}} + \cdots +\frac{a_{n-1}}{a_n} + z \right| |a_n| |z^{n-1}|\\ &\ge& |a_n| |z^{n-1}| \left(|z| - \left|\frac{a_0}{a_n z^{n-1}} + \cdots +\frac{a_{n-1}}{a_n}\right|\right)\end{eqnarray}$$
ここで，最後は三角不等式$|x+y|\ge|x|-|y|$です．$z$を一つ中に残しているのがポイントです．

今，$|z|\to \infty$を考えているのですから，$k=1,\ldots,n$に対して$\frac{1}{|z^k|}\le1$としても構いません，また，$\left|\frac{a_k}{a_n}\right|$の最大値を$M$とおくと，
$$\begin{eqnarray}\left|\frac{a_0}{a_n z^{n-1}} + \cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}\right| &\le& \left|\frac{a_0}{a_n z^{n-1}}\right| + \cdots + \left|\frac{a_{n-1}}{a_n}\right|\\ &\le& \left|\frac{a_0}{a_n}\right|+ \cdots +\left|\frac{a_{n-1}}{a_n}\right| \\ &\le& nM\end{eqnarray}$$
したがって，
$$\begin{eqnarray}|f(z)| &\ge& |a_n| |z^{n-1}| (|z| -nM)\end{eqnarray}$$
また，$|z|$が十分大きいことを，$|z|>(n+1)M$とします．$\frac{1}{|z^k|}\le1$と先に仮定しましたが，$(n+1)M>1$と考えて問題ないので（こだわるならば，これらの大きい方（小さくない方）を新たに設定すればいいだけです），この仮定は許されます．そうすると，
$|f(z)| \ge |a_n| |z|^{n-1}|M|$
です．$a_n$，$M$は定数なので，絶対値が十分に大きな$z$に対して，$|f(z)|$も十分大きくなることが分かります．

ああ・・・疲れました．$\TeX$記法って，改行があるとうまくパースしてくれないんですね．別行立て数式がつらかった(^^;