（迷題）最大の自然数は1である

2008-08-23経由，小島さんのエントリ．「最大の自然数は1」の証明．背理法などの論理の危うい一面を端的に示した面白い例だと思う．要は数学というか論理というかの基本中の基本

偽の命題からは全てが導かれる

が重要なわけです．これ経済とか政治とかでやられたらたまらないですけど・・・実際のところ，結構やられちゃってるんだろうなとか思います．

背理法にならんで，ある意味怪しいのは帰納法です．高校生を相手にしてたときに，帰納法の与太話として使ってたのは，元ネタは忘れたけども，

すべての人間はハゲである

という「命題」．「証明」は大雑把には

髪の毛が一本もない人はハゲである
ハゲの人に一本毛が生えてもハゲである
よって髪の毛が何本あってもハゲである

というもの．それらしく，教科書風に「髪の毛がn-1本の人をハゲとする」とか，整理すればそれらしい形にまとめることは容易です．

もちろん突っ込みところ満載で数学的には滅茶苦茶だけども，それなりに「論理（の使い方）」の危うさというか「前提の重要性」とかが浮かび上がると思います．

小島さんのエントリにある「周囲の長さ一が定で面積最大の図形を求める」問題，いわゆる「等周問題」も前提の重要さを表すものですが，こっちの方が不完全さを見つけるのは面倒ですね．いわゆる「変分法」の基礎として大事な例ですが，これはまじめにやるとかなりハイブローな問題になります．要は「面積最大の図形」が存在するかですが，突き詰めれば「そもそも図形って何だ？」が絡みますし，「長さ・面積って何だ？」ともなります．

つまり，「図形」全体の集合を考えて，その集合の要素で「周囲の長さが一定」という条件で定まる集合を捉えて，「図形に面積を対応させる」写像を考えることになり，この面積写像が「きちんと定義できて」，「連続」で，「周囲の長さが一定の図形の集合がコンパクト」であればいい・・・しんどいです．